Bài 1.
1) Rút gọn A = $2^{100}-2^{99}+2^{98}-2^{98}+...+2^2-2$.
2) Cho B = $/dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}$+...+$\dfrac{1}{3^{99}}$. Chứng minh rằng B< $\dfrac{1}{2}$ .
3) Chứng minh rằng:a)  $\dfrac{3}{1^2.2^2}$+$\dfrac{5}{2^2.3^2}$+$\dfrac{7}{3^2.4^2}$+...+$\dfrac{19}{9^2.10^2}$<1

b) $\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}$+...+$\dfrac{100}{3^100}$<$\dfrac{3}{4}$.

Bài 2.
1) Tìm các số nguyên dương m và n, sao cho: $2^m-2^n$=256.
2) Cho n số $x_{1}$,$x_{2}$,$x_{3}$,...,$x_{n}$, Mỗi số bằng 1 hoặc -1. Biết rằng tổng của n tích $x_{1}$.$x_{2}$,$x_{3}$,$x_{4}$,...,$x_{n}$.$x_{1}$ bằng 0. CMR n không thể bằng 2014.
3) Tìm các số hữu tỉ a, b, c biết rằng:
a)ab=$\dfrac{3}{5}$, bc=$\dfrac{4}{5}$, ca=$\dfrac{3}{4}$
b) ac=c, bc=4a, ac=9b

Bài 3.
1) Tìm mọi số nguyên tố thỏa mãn: $x^2-2xy^2$=1.
2) Tìm giá trị  n  nguyên dương:
a) $\dfrac{1}{8}$.$26^n$=$2^n$
b) 27<$3^b$<243
3) Thực hiện phép tính:
a) A=$\dfrac{2^{12}.3^5-4^6.9^2}{(2^2.3)^6+8^4.3^5}$-$\dfrac{5^{10}.7^3-25^5.49^6}{(125.7)^3+5^9.14^3}$
b)
c) B=512-$\dfrac{512}{2}$-$\dfrac{512}{2^2}$-$\dfrac{512}{2^3}$-...-$\dfrac{512}{2^10}$
4) CMR: Với mọi số nguyên dương n thì:
$3^{n+2}$-$2^{n+2}$+$3^n$-$2^n$ chioa hết cho 10.
5) Tìm x, biết:
a) $(x-7)^{x+1}$-$(x-7)^{x+11}$=0
b) $|x-2|^{2000}$+$|x-3|^{2001}$=1(*)
c) Tìm x, y biết:
$(2x-1)^{2012}$+|2y-x|-8=12-5.$2^2$

Bài 4.
1) So sánh:
a) $5^{255}$ và $2^{579}$
b) A=1+2+$2^2$+...+$2^{50}$ và B=$2^{51}$
c) $2^300$ và $3^200$


Tạm thời Anna viết 65% bài ùi nhá...^^

Bài 1:
1) Ta có: $A=2^{100}-2^{99}+2^{98}-2^{97}+...+2^{2}-2=2^{99}+2^{97}+...+2^{3}+2 \Rightarrow 4A=2^{101}+2^{99}+...+2^{5}+2^{3} \Rightarrow 3A=2^{101}-2 \Rightarrow A=\dfrac{2^{101}-2}{3}$
2) Ta có: $B=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{99}} \Rightarrow \dfrac{1}{3}.B=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{3^{100}} \Rightarrow \dfrac{2}{3}.B=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3^{100}} \Rightarrow B=\dfrac{1}{2}}-\dfrac{1}{2.3^{99}}<\dfrac{1}{2}$
3)a) Ta có: $\dfrac{2n+1}{n^2.(n+1)^2}=\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{(n+1)^2}$
Áp dụng đẳng thức trên: $\dfrac{3}{1^2.2^2}+\dfrac{5}{2^2.3^2}+...+\dfrac{19}{9^2.10^2}=\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{10^2}<1$
  b) Đặt $C=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3^2}+...+\dfrac{100}{3^{100}} \Rightarrow \dfrac{1}{3}.C=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{2}{3^3}+...+\dfrac{100}{3^{101}} \Rightarrow \dfrac{2}{3}.C=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{100}}-\dfrac{100}{3^{101}} \Rightarrow \dfrac{2}{9}.C=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{3^{101}}-\dfrac{100}{3^{102}} \Rightarrow \dfrac{4}{9}.C=\dfrac{1}{3}-\dfrac{101}{3^{101}}+\dfrac{100}{3^{102}}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{203}{3^{102}} \Rightarrow C=\dfrac{3}{4}-\dfrac{203}{4.3^{100}}<\dfrac{3}{4}$

Bài 2:
1) Ta có: $2^m-2^n=256 \Rightarrow 2^n(2^{m-n}-1)=2^8 \Rightarrow n=8$ và $m=9$
2) Xin lỗi các bạn, mình chỉ CM được n không thể là số lẻ được thôi. Nhưng có lẽ nó sẽ giúp ích phần nào: Ta có: $x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1=0$ và ở vế trái có n số hạng bằng 1 hoặc -1 nên nếu n là số lẻ thì lượng 1 và -1 không đủ triệt tiêu nhau để cho kết quả là 0. Vậy n phải là số chẵn.
  Vấn đề ở đây mình nghĩ, là CM $n$ phải $\vdots$ 4.
3) a) Từ đề bài, suy ra $a,b,c$ cùng dương/ âm và $(abc)^2=ab.bc.ca=\dfrac{9}{25}$.
       - Với a,b,c đều âm thì $abc=-\dfrac{3}{5} \Rightarrow a=-\dfrac{3}{4}, b=-\dfrac{4}{5}, c=-1$
       - Với a,b,c đều dương thì $abc=\dfrac{3}{5} \Rightarrow a=\dfrac{3}{4}, b=\dfrac{4}{5}, c=1$
  b) - Với $c=0$ thì $a=0, b=0$
      - Với $c \not= 0$, ta có: $a=1, b=-\dfrac{2}{3}, c=-6$ hoặc $a=1, b=\dfrac{2}{3}, c=6$

complexpiano000 đã viết:

Bài 1:
1) Ta có: $A=2^{100}-2^{99}+2^{98}-2^{97}+...+2^{2}-2=2^{99}+2^{97}+...+2^{3}+2 \Rightarrow 4A=2^{101}+2^{99}+...+2^{5}+2^{3} \Rightarrow 3A=2^{101}-2 \Rightarrow A=\dfrac{2^{101}-2}{3}$
2) Ta có: $B=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{99}} \Rightarrow \dfrac{1}{3}.B=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{3^{100}} \Rightarrow \dfrac{2}{3}.B=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3^{100}} \Rightarrow B=\dfrac{1}{2}}-\dfrac{1}{2.3^{99}}<\dfrac{1}{2}$
3)a) Ta có: $\dfrac{2n+1}{n^2.(n+1)^2}=\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{(n+1)^2}$
Áp dụng đẳng thức trên: $\dfrac{3}{1^2.2^2}+\dfrac{5}{2^2.3^2}+...+\dfrac{19}{9^2.10^2}=\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{10^2}<1$
  b) Đặt $C=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3^2}+...+\dfrac{100}{3^{100}} \Rightarrow \dfrac{1}{3}.C=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{2}{3^3}+...+\dfrac{100}{3^{101}} \Rightarrow \dfrac{2}{3}.C=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{100}}-\dfrac{100}{3^{101}} \Rightarrow \dfrac{2}{9}.C=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{3^{101}}-\dfrac{100}{3^{102}} \Rightarrow \dfrac{4}{9}.C=\dfrac{1}{3}-\dfrac{101}{3^{101}}+\dfrac{100}{3^{102}}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{203}{3^{102}} \Rightarrow C=\dfrac{3}{4}-\dfrac{203}{4.3^{100}}<\dfrac{3}{4}$

Bài 2:
1) Ta có: $2^m-2^n=256 \Rightarrow 2^n(2^{m-n}-1)=2^8 \Rightarrow n=8$ và $m=9$
2) Xin lỗi các bạn, mình chỉ CM được n không thể là số lẻ được thôi. Nhưng có lẽ nó sẽ giúp ích phần nào: Ta có: $x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1=0$ và ở vế trái có n số hạng bằng 1 hoặc -1 nên nếu n là số lẻ thì lượng 1 và -1 không đủ triệt tiêu nhau để cho kết quả là 0. Vậy n phải là số chẵn.
  Vấn đề ở đây mình nghĩ, là CM $n$ phải $\vdots$ 4.
3) a) Từ đề bài, suy ra $a,b,c$ cùng dương/ âm và $(abc)^2=ab.bc.ca=\dfrac{9}{25}.
       - Với a,b,c đều âm thì $abc=-\dfrac{3}{5} \Rightarrow a=-\dfrac{3}{4}, b=-\dfrac{4}{5}, c=-1$
       - Với a,b,c đều dương thì $abc=\dfrac{3}{5} \Rightarrow a=\dfrac{3}{4}, b=\dfrac{4}{5}, c=1$
  b) - Với $c=0$ thì $a=0, b=0$
      - Với $c \not= 0$, ta có: $a=1, b=-\dfrac{2}{3}, c=-6$ hoặc $a=1, b=\dfrac{2}{3}, c=6$

Bài 1.1) Anna làm thế này được không ạ?^^
Rút gọn A= $2^{100}-2^{99}+2^{98}-2^{97}+...+2^2-2$

Ta có:
   A= $2^{100}-2^{99}+2^{98}-2^{97}+...+2^2-2$
Nhân cả hai vế với 2 ta được:
   2A= $2^{101}-2^{100}+2^{99}-2^{98}+...+2^3-2^2$
Suy ra: N+2N=3N=$2^{100}-2^{99}+2^{98}-2^{97}+...+2^2-2+2^{101}-2^{100}+2^{99}-2^{98}+...+2^3-2^2$=$2^{101}-2$
Suy ra 3N= $2^{101}-2$
Suy ra   N= $\dfrac{2^{101}-2}{3}$
    Vậy N=$\dfrac{2^{101}-2}{3}$

Bài 3:
1) Ta có: $x^2-2xy^2=1 \Rightarrow x(x-2y^2)=1$
Do $x, y \in P$ nên $x, y \in N*$ và $x, y \ge 2$
Vậy $x, y \in \phi$
2)a) Ta có: $\dfrac{1}{8}.16^n=2^n \Rightarrow (2^4)^n=2^{n+3} \Rightarrow 2^{4n}=2^{n+3} \Rightarrow 4n=n+3 \Rightarrow n=1$
b) Ta có: $27<3^n<243 \Rightarrow 3^3<3^n<3^5 \Rightarrow 3<n<5 \Rightarrow n=4$ (do $n \in N*$)
3)a) Ở cả 2 phân số, phân tích, rút gọn, sau đó quy đồng và thực hiện phép trừ.
Đáp số: $A=22418670\dfrac{1}{6}$
c) $B=512-\dfrac{512}{2}-\dfrac{512}{2^2}-...-\dfrac{512}{2^{10}} \Rightarrow \dfrac{B}{2}=\dfrac{512}{2}-\dfrac{512}{5^2}-...-\dfrac{512}{2^{11}} \Rightarrow \dfrac{B}{2}=512-512+\dfrac{512}{2^{11}} \Rightarrow B=\dfrac{512}{2^{10}}=0.5$
4) Ta có: $3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=3^n(3^2+1)-2^{n-1}(2^3+2)=10(3^n-2^{n-1}) \vdots 10$
5)a) Ta có: $(x-7)^{x+1}-(x-7)^{x+11}=0 \Rightarrow (x-7)^{x+1}((x-7)^{10}-1)=0 \Rightarrow x=6; x=7; x=8$
b) Từ đề bài, ta có: $|x-2|^{2000} \le 1$ và $|x-3|^{2001} \le 1 \Rightarrow -1 \le x-2 \le 1$ và $-1 \le x-3 \le 1 \Rightarrow 2 \le x \le 3$
Biểu thức ban đầu trở thành: $(x-2)^{2000}+(3-x)^{2001}=1$
- Với $x=2; x=3$ thì thoả mãn PT trên.
- Với $2 < x < 3$, ta có: $x-2<3-2=1$ và $3-x<3-2=1 \Rightarrow (x-2)^{2000}<x-2$ và $(3-x)^{2001}<3-x \Rightarrow (x-2)^{2000}+(3-x)^{2001}<x-2+3-x=1$
Vậy $x=2; x=3$
c) Ta có: $(2x-1)^{2012}+|2y-x|-8=12-2^2.5 \Rightarrow (2x-1)^{2012}+|2y-x|=12-20+8=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}, y=\dfrac{1}{4}$

Bài 4:
a) Ta có: $(1,024)^7<(1,220703125)^{16} \Rightarrow (\dfrac{128}{125})^7<(\dfrac{625}{512})^{16} \Rightarrow (\dfrac{128}{125})^{16}.(\dfrac{128}{125})^7<(\dfrac{5}{4})^{16} \Rightarrow (\dfrac{32}{25}.\dfrac{4}{5})^23<(\dfrac{5}{4})^{16} \Rightarrow (\dfrac{32}{25})^{23}<(\dfrac{5}{4})^{39} \Rightarrow (2^5)^{23}.(2^2)^{39}<(5^2)^{23}.5^{39} \Rightarrow 2^{193}<5^{85} \Rightarrow (2^{193})^3<(5^{85})^3 \Rightarrow 2^{579}<5^{255}$
b) Ta có: $A=1+2+2^2+...+2^{50} \Rightarrow 2A=2+2^2+...+2^{51} \Rightarrow A=2^{51}-1<2^{51}=B$. Vậy $A<B$.
c) Ta có: $8<9 \Rightarrow 2^3<3^2 \Rightarrow (2^3)^{100}<(3^2)^{100} \Rightarrow 2^{300}<3^{200}$