ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI

Bất đẳng thức Cô - si: Nếu ${a_1}, {a_2}, ..., {a_n}$ là các số không âm thì:

$\frac{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}{n}$ >= $\sqrt[n]{{a_1}{a_2}...{a_n}}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi
${a_{1}} = {a_{2}} = ... = {a_{n}}$
Thí dụ 1.1
Chứng minh nếu a, b, c là ba số dương thì

Giải: Áp dụng BĐT Cô-si vs n = 3 cho các số dương a, b, c và cho các số dương $\frac{1}{a} ; \frac{1}{b} ; \frac{1}{c}$ ta có:

$\frac{a + b + c}{3}$ >= $3\sqrt[3]{abc}$(1)

$\frac{{\frac{1}{a}} + {\frac{1}{b}} + {\frac{1}{c}}}{3}$ >= $\sqrt[3]{{\frac{1}{a}}.{\frac{1}{b}}.{\frac{1}{c}}}$(2)

Do các vế của (1) và (2) dương nên nhân các vế tương ứng ta được

$\frac{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}{9}$ >= $\sqrt[3]{abc.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}=1$ => $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ >= 9


Thí dụ 1.2
Chứng minh rằng : nếu a >= 0; b >= 0 thì ta luôn có:

Giải: Áp dụng BĐT Co-si cho 3 số ko âm $3a^3$, $4a^3$, $3b^3$ ta có:

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{3a^{3} + 4b^{3} + 3b^{3}}{3} \geq \sqrt[3]{3a^{3}.4b^{3}.3b^{3}} = \sqrt[3]{36}ab^{2}\geq 3ab^{2}\Rightarrow 3a^{3} + 7b^{3} \geq 9ab^{2}[/img]

1. Chứng minh với $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ > 0 thì



2. Cho a >= 1; b >= 1, hãy chứng minh



3. Cho $x_1$, $x_2$, $y_1$, $y_2$, $z_1$, $z_2$ thỏa mãn:


Chứng minh ($x_1$ + $x_2$)($z_1$ + $z_2$) >= ($y_{1}$ + $y_{2}$)^2

4. Cho 0 <= a <= 1, 0 <= b <= 1, 0 <= c <= 1. Chứng minh



5. Tìm Max của biểu thức
(a >= 3, b >= 4, c >= 2)

6. Cho a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác có diện tích S. Chứng minh rằng:

Trong trường hợp nào thì xảy ra dấu đẳng thức ?

7. a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng:


8. Chứng minh rằng nếu $a_1$, $a_2$, ...$a_n$, $b_1$, $b_2$, ...$b_n$ > 0 thì
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt[n]{(a_{1}+b_{1})(a_{2}+b_{2})...(a_{n}+b_{n})}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}+\sqrt[n]{b_{1}b_{2}...b_{n}}[/img]

9. Cho x, y thay đổi sao cho 0 <= x <= 3; 0 <= y <= 4. Tìm Max của biểu thức

10. Giả sử ABC có ba góc nhọn. Chứng minh:


11. Chứng minh với mọi a, b > 0 và mọi số nguyên dương m ta có


12. Tìm m để hệ
x + y + z =1
xy + yz + zx = 9m
xyz = m

13. Tìm Max của y = $sin^2$x . $cos^6$x