Câu 1. Tìm tất cả các số nguyên a biết |a| $\leq$ 4

Câu 2. Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn -$\dfrac{9}{10}$ và nhỏ hơn -$\dfrac{9}{11}$

Câu 3. Cho 2 đa thức:
        P(x) = $x^2$ + 2mx + $m^2$ và
        Q(x) = $x^2$ + (2m+1)x + $m^2$
Tìm m biết: P(1) = Q(-1)

Câu 4. Tìm các cặp số (x;y) biết:
a/ $\dfrac{x}{3}$ = $\dfrac{y}{7}$ ; xy=84
b/ $\dfrac{1+3y}{12}$ = $\dfrac{1+5y}{5x}$ = $\dfrac{1+7y}{4x}$

Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau:
A= |x+1|+5
B= $\dfrac{x^2 + 15}{x^2 + 3}$

Câu 6. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}$ < $90^o$ . Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
a. Chứng minh: DC = BE và DC $\perp$ BE.
b. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và $\Delta$ ABC = $\Delta$ EMA.
c. Chứng minh: MA $\perp$ BC

Bài 1:
Ta có: $|a| \le 4 \Rightarrow a \in$ {-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4} (do $a \in Z$)

Bài 2:
Gọi phân số cần tìm là $-\dfrac{7}{a}$ ($a \in N*$)
Ta có: $-\dfrac{9}{10}<-\dfrac{7}{a}<-\dfrac{9}{11} \Rightarrow \dfrac{9}{11}<\dfrac{7}{a}<\dfrac{9}{10} \Rightarrow \dfrac{10}{9}<\dfrac{a}{7}<\dfrac{11}{9} \Rightarrow \dfrac{70}{9}<a<\dfrac{77}{9} \Rightarrow a=8$ (do $a \in N*$)
Vậy phân số cần tìm là $-\dfrac{7}{8}$.

Bài 3:
Ta có: $P(1)=Q(-1) \Rightarrow 1^2+2m.1+m^2=(-1)^2+(2m+1).(-1)+m^2 \Rightarrow m=-0,25$

Bài 4:
a) Từ đề bài, suy ra: $y=\dfrac{84}{x}$ và $x,y \not= 0$
Như vậy, suy ra: $\dfrac{x}{3}=\dfrac{\dfrac{84}{x}}{7}=\dfrac{12}{x} \Rightarrow x^2=36 \Rightarrow x_1=6; x_2=-6 \Rightarrow y_1=14; y_2=-14$
b) Áp dụng tcdtsbn, ta có: $\dfrac{1+3y}{12}=\dfrac{1+5y}{5x}=\dfrac{1+7y}{4x}=\dfrac{7+35y}{35x}=\dfrac{5+35y}{20x}=\dfrac{(7+35y)-(5+35y)}{35x-20x}=\dfrac{2}{15x} =\dfrac{(1+5y)-(1+7y)}{5x-4x}=\dfrac{-2y}{x} \Rightarrow y=-\dfrac{1}{15} \Rightarrow x=2$

Bài 5:
Ta có: $A=|x+1|+5 \ge 5$. Đẳng thức xảy ra khi $x=-1$. Vậy $minA=5$, tại $x=-1$.
Ta có: $B=\dfrac{x^2+15}{x^2+3}=1+\dfrac{12}{x^2+3} \le 1+\dfrac{12}{3}=5$. Đẳng thức xảy ra khi $x=0$. Vậy $maxB=5$, tại $x=0$.

Bài 6: (Ở đây, mình chỉ xét TH D và C nằm khác phía đối với AB, B và E nằm khác phía đối với AC nhé, TH ngược lại làm cũng tương tự thôi.)
a) Gọi $I, K$ lần lượt là giao điểm $BE$ với $CD$ và $AC$. CM được $\widehat{CAD}=\widehat{EAB}=\widehat{BAC}+90^o$. Từ đó CM được $\bigtriangleup{ABE}=\bigtriangleup{ADC} \Rightarrow DC=BE$ và $\widehat{KCI}=\widehat{KEA}$
Mà: $\widehat{CKI}=\widehat{EKA}$ (đối đỉnh)
Nên: $180^o-\widehat{KCI}-\widehat{CKI}=180^o-\widehat{KEA}-\widehat{EKA} \Rightarrow \widehat{CIK}=\widehat{EAK}=90^o \Rightarrow BE \perp CD$.
b) CM được $\bigtriangleup{AND}=\bigtriangleup{MNE}$ (c.g.c.) $\Rightarrow ME=AD=AB$ và sử dụng góc slt, CM được $AD // ME \Rightarrow \widehat{MEA}+\widehat{DAE}=180^o$ (góc tcp). (1)
Sử dụng góc đầy ($360^o$), CM được $\widehat{BAC}+\widehat{DAE}=180^o$ (2)
(1), (2) $\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{MEA}$. Từ đó CM được $\bigtriangleup{ABC}=\bigtriangleup{EMA}$ (c.g.c.)
c) Gọi $H$ là giao điểm $MA$ và $BC$.
CM được $\widehat{HAC}+\widehat{EAM}=90^o \Rightarrow \widehat{HAC}+\widehat{ACB}=90^o$ (do $\bigtriangleup{ABC}=\bigtriangleup{EMA}$) $\Rightarrow \bigtriangleup{HAC}$ vuông tại $H \Rightarrow MA \perp BC$.