Câu 1. (2điểm)
Thực hiện phép tính:
a/ $[6.(-\dfrac{1}{3})^2 - 3 . (-\dfrac{1}{3}) + 1] : (-\dfrac{1}{3}-1)$
b/ $\dfrac{(\dfrac{2}{3})^3 . (-\dfrac{3}{4})^2 . (-1)^{2003}}{(\dfrac{2}{5})^2 . (-\dfrac{5}{12})^3}$

Câu 2. (2điểm)
a/ Tìm số nguyên  a  để  $\dfrac{a^2 + a + 3}{a + 1}$  là số nguyên.
b/ Tìm số nguyên  x,y  sao cho: x - 2xy + y = 0.

Câu 3. (2điểm)
a/ Chứng minh rằng nếu a+c = 2b  và  2bd = c(b+d) thì $\dfrac{a}{b}$ = $\dfrac{c}{d}$ với b, d $\neq$ 0.
b/ Cần bao nhiêu số hạng của tổng  S= 1+2+3+...  để được một số có ba chữ số  giống nhau.

Câu 4. (3điểm)
Cho tam giác ABC có góc B bằng $45^o$ , góc C bằng $120^o$ . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính góc ADB.

Câu 5. (1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thỏa mãn: $x^2 - 2y^2$ = 1

Bài 1:
a/ Đáp số: -2
b/ Đáp số: 14,4

Bài 2:
a/ Ta có: $\dfrac{a^2+a+3}{a+1} \in Z \Rightarrow a+\dfrac{3}{a+1} \in Z \Rightarrow (a+1) \in Ư(3)=$ {$-3;-1;1;3$} $\Rightarrow a \in$ {$-4;-2;0;2$}
b/ Từ đề bài, suy ra: $x+y = 2xy \vdots x \Rightarrow y \vdots x$ (1)
   CMTT: $x \vdots y$ (1)
   (1), (2) $\Rightarrow x,y \in$ {$-1;1$}. Thử lại, ta thấy $x=y=1$ thoả đề bài. Vậy $x=y=1$.

Bài 3:
a/ Ta có: $c(b+d)=2bd=(a+c)d \Rightarrow \dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c-c}{b+d-d}$ (tc dtsbn) $=\dfrac{a}{b}$.
b/ Ta có: $S=1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}=111.m$ ($1 \le m \le 9, m \in N*$) $\Rightarrow n(n+1)=37.6.m$. Cần chọn $m$ sao cho tích $37.6.m$ là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Ta thấy chỉ $m=6$ thoả mãn điều này. Vậy: $n(n+1)=36.37 \Rightarrow n=36$ (do $n \in N*$). Vậy cần 36 số hạng.

Bài 4: (để từ từ mình suy nghĩ :) )

Bài 5:
- Xét $x, y \not= 3 \Rightarrow x,y$ không chia hết cho 3 $\Rightarrow x^2, y^2$ có dạng $3M+1$. Đặt $x^2=3a+1, y^2=3b+1$ ($a,b \in N*$) $\Rightarrow x^2-2y^2=3(a-2b)-1=1 \Rightarrow 3(a-2b)=2$ (vô lí)
- Xét $x=3 \Rightarrow y=2$ (thoả đề bài)
- Xét $y=3 \Rightarrow x^2=19$ (vô lí)
Vậy $x=3, y=2$.