Thời gian làm bài: 150'
Câu I (4điểm)
1. Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý:
a) A= $\dfrac{ 2^{10} . 13 + 2^{10} .65}{ 2^8 .104}$
b) B= 19991999.1998-19981998.1999
c) Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{ 2^2 }$ + $\dfrac{1}{ 3^2 }$ + $\dfrac{1}{ 4^2 }$ +...+ $\dfrac{1}{ 100^2 }$ < $\dfrac{3}{4}$
d) Cho số $\overline{abc}$  $\vdots$ 27 chứng minh rằng $\overline{bca}$  $\vdots$ 27
Câu II (4điểm)
1. Tìm số nguyên tố p sao cho (p+10) và (p+20) cũng là số nguyên tố.
2. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, Biết (p+2) cũng là số nguyên tố. Chứng minh (p+1) chia hết cho 6.
3. Tìm số tự nhiên n để (4n+3) và (2n+3) nguyên tố cùng nhau?
4) Tổng A= 3 + $3^2$ + $3^3$ +...+ $3^{20}$ có phải là số chính phương không?
Câu III (4điểm)
1. Cho Q= 2 + $2^2$ + $2^3$ +...+ $2^{20}$ , tìm chữ số tận cùng của Q.
2. Tìm n thuộc số tự nhiên để $\dfrac{8n+193}{4n+3}$ có giá trị tự nhiên.
3. a) Chứng minh rằng $9^{2n+1}$ + 1 chia hết cho 10.
b) Tìm số hạng thứ 50 của dãy số: 1.4;4.7;7.10;...
4. Tìm các số nguyên x, y biết:
$\dfrac{x}{6}$ - $\dfrac{2}{y}$ = $\dfrac{1}{30}$
Câu IV (4điểm)
1. Trên đoạn đường dài 4800m có các cột điện trồng cách nhau 60m, nay trồng lại cách nhau 80m. Hỏi có bao nhiêu cột không phải trồng lại, biết rằng cả hai đầu đường đều có cột điện và được giữ nguyên.
2. Hai xe ô tô đi từ hai địa điểm A và B về phía nhau, xe thứ nhất khởi hành từ A lúc 7 giờ, xe thứ hai khởi hành từ B lúc 7 giờ 10 phút. Hai xe gặp nhau lúc mấy giờ, biết rằng để đi cả quãng đường AB, xe thứ nhất cần 2 giờ, xe thứ hai cần 3 giờ.
Câu V (4điểm)
1) Cho $\widehat{xOy}$ = $100^o$ , $\widehat{xOz}$ = $60^o$. Vẽ tia Om là tia phân giác của góc yOz. Tính $\widehat{xOm}$ ?
2) Cho góc bẹt AOB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia OC, OD sao cho $\widehat{AOC}$ = $70^o$ , $\widehat{BOD}$ = $55^o$ . Chứng tỏ rằng tia OD là tia phân giác của $\widehat{BOC}$ ?

Câu 2:
1) Với k $\in$ N*,xét các TH:
   -Nếu $p=3k-1$ thì $p+10=3k+9 \notin$ P
   -Nếu $p=3k+1$ thì $p+20=3k+21 \notin$ P
   $\Rightarrow p=3k \Rightarrow p=3$ (do p $\in$ P) (thoả đề bài)
   Vậy $p=3$.
2) Ta có: p và p+2 là số nguyên tố > 3 $\Rightarrow$ p và p+2 là số lẻ $\Rightarrow$ p+1 $\vdots$ 2 (1)
   Lại có: p, p+1, p+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp $\Rightarrow$ 1 trong 3 số phải $\vdots$ 3 $\Rightarrow$ p+1 $\vdots$ 3 (do p và p+2 $\in$ P) (2)
   Mà: 2 và 3 nguyên tố cùng nhau (3)
   (1),(2),(3) $\Rightarrow$ p+1 $\vdots$ 6
3) Ta có: ƯCLN(4n+3,2n+3)=1 $\Rightarrow \dfrac{4n+3}{2n+3}$ tối giản $\Rightarrow \dfrac{3}{2n+3}$ tối giản $\Rightarrow$ (2n+3) $\in$ {1;3} (loại 2n+3=1 do n $\in$ N) $\Rightarrow$ n=0.
4) Ta có: $A=3+3^2+...+3^{20}$ $\Rightarrow$ $3A=3^2+3^3+...+3^{21}$ $\Rightarrow$ $2A=3^{21}-3$ $\Rightarrow$ $A=\dfrac{3.(3^{20}-1)}{2}$
   Mà: $\dfrac{3^{20}-1}{2}$ không chia hết cho 3 và 3 $\vdots$ 3
  Nên: A $\vdots$ 3 nhưng không $\vdots$ 9 $\Rightarrow$ A không thể là số chính phương.

Câu 3:
1) Ta có: $Q=2+2^2+...+2^{20}$ $\Rightarrow$ $2Q=2^2+2^3+...+2^{21}$ $\Rightarrow$ $Q=2^{21}-2=2(32^4-1)=2((BS10+2)^4-1)=2(BS10+16-1)=BS10+30$ có tận cùng là 10.
2) Ta có: $\dfrac{8n+193}{4n+3} \in N$ $\Rightarrow$ $\dfrac{187}{4n+3} \in N$ $\Rightarrow$ $4n+3 \in$ {11;17} $\Rightarrow$ $n \in$ {2;3,5} (loại n=3,5 do n $\in$ n)
Vậy n=2.
3) a) Ta có: $9^{2n+1}+1=9.81^n+1=9(...1)+1$ có tận cùng là 0 $\Rightarrow$ $9^{2n+1}+1 \vdots 10$
b) Số hạng cần tìm là 50.53
4) Ta có: $\dfrac{x}{6}-\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{30} (y \not= 0) \Rightarrow 5xy-y=60 \Rightarrow y(5x-1)=60 \Rightarrow(5x-1) \in$ {-6;-1;4} (do $x \in Z$) $\Rightarrow x \in$ {-1;0;1} và $y \in$ {-10;-60;15}
Vậy: $x_1=-1,y_1=-10$; $x_2=0,y=-60$; $x_3=1,y_3=15$

complexpiano000 đã viết:

Câu 2:
1) Với k $\in$ N*,xét các TH:
   -Nếu $p=3k-1$ thì $p+10=3k+9 \notin$ P
   -Nếu $p=3k+1$ thì $p+20=3k+21 \notin$ P
   $\Rightarrow p=3k \Rightarrow p=3$ (do p $\in$ P) (thoả đề bài)
   Vậy $p=3$.
2) Ta có: p và p+2 là số nguyên tố > 3 $\Rightarrow$ p và p+2 là số lẻ $\Rightarrow$ p+1 $\vdots$ 2 (1)
   Lại có: p, p+1, p+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp $\Rightarrow$ 1 trong 3 số phải $\vdots$ 3 $\Rightarrow$ p+1 $\vdots$ 3 (do p và p+2 $\in$ P) (2)
   Mà: 2 và 3 nguyên tố cùng nhau (3)
   (1),(2),(3) $\Rightarrow$ p+1 $\vdots$ 6
3) Ta có: ƯCLN(4n+3,2n+3)=1 $\Rightarrow \dfrac{4n+3}{2n+3}$ tối giản $\Rightarrow \dfrac{3}{2n+3}$ tối giản $\Rightarrow$ (2n+3) $\in$ {1;3} (loại 2n+3=1 do n $\in$ N) $\Rightarrow$ n=0.
4) Ta có: $A=3+3^2+...+3^{20}$ $\Rightarrow$ $3A=3^2+3^3+...+3^{21}$ $\Rightarrow$ $2A=3^{21}-3$ $\Rightarrow$ $A=\dfrac{3.(3^{20}-1)}{2}$
   Mà: $\dfrac{3^{20}-1}{2}$ không chia hết cho 3 và 3 $\vdots$ 3
  Nên: A $\vdots$ 3 nhưng không $\vdots$ 9 $\Rightarrow$ A không thể là số chính phương.

Câu 3:
1) Ta có: $Q=2+2^2+...+2^{20}$ $\Rightarrow$ $2Q=2^2+2^3+...+2^{21}$ $\Rightarrow$ $Q=2^{21}-2=2(32^4-1)=2((BS10+2)^4-1)=2(BS10+16-1)=BS10+30$ có tận cùng là 10.
2) Ta có: $\dfrac{8n+193}{4n+3} \in N$ $\Rightarrow$ $\dfrac{187}{4n+3} \in N$ $\Rightarrow$ $4n+3 \in$ {11;17} $\Rightarrow$ $n \in$ {2;3,5} (loại n=3,5 do n $\in$ n)
Vậy n=2.
3) a) Ta có: $9^{2n+1}+1=9.81^n+1=9(...1)+1$ có tận cùng là 0 $\Rightarrow$ $9^{2n+1}+1 \vdots 10$
b) Số hạng cần tìm là 50.53
4) Ta có: $\dfrac{x}{6}-\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{30} (y \not= 0) \Rightarrow 5xy-y=60 \Rightarrow y(5x-1)=60 \Rightarrow(5x-1) \in$ {-6;-1;4} (do $x \in Z$) $\Rightarrow x \in$ {-1;0;1} và $y \in$ {-10;-60;15}
Vậy: $x_1=-1,y_1=-10$; $x_2=0,y=-60$; $x_3=1,y_3=15$

Anna chỉ góp chỉ chút thôi ạ...^^...
Câu 2.
1) vì trong tập hợp số nguyên tố, còn có số 2 là số nguyên tố nữa, nên anh phải xét cả p=2 nữa ạ, tuy là khi p=2 thì p+10 $\in$ P, nhưng mà vẫn phải xét đến số 2 ạ...^^

3) Ở dưới lớp 6, tụi em làm như thế này cơ ạ..^^:
Gọi d là ƯC(4n+3; 2n+3) (với d $\in$ $\mathbb{N}$*)
$\Rightarrow$ (4n+3) $\vdots$ d (1)
và (2n+3) $\vdots$ d $\Rightarrow$ 2(2n+3) $\vdots$ d $\Rightarrow$ (4n+6) $\vdots$ d (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ (4n+6)-(4n+3) $\vdots$ d
$\Rightarrow$ (4n+6-4n-3) $vdots$ d
$\Rightarrow$ 3 $vdots$ d
$\Rightarrow$ d$\in$ {1;3}
Để (4n+3) và (2n+3) nguyên tố cùng nhau thì d\neq$3.
$\Rightarrow$ Một trong hai số trên không chia hết cho 3.
Xét (4n+3) không chia hết cho 3 $\Leftrightarrow$ 4n không chia hết cho 3 $\Rightarrow$ n không chia hết cho 3
Vậy với n không chia hết cho 3 thì 2n+3 và 4n+3 nguyên tố cùng nhau.

4) Anna có cách nữa là: Ta thấy mỗi số hạng của tổng A chia hết cho 3 $\Rightarrow$ A $\vdots$ 3.
Các số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi đều chia hết cho 9, nhưng số hạng đầu tiên không chia hết cho 9 $\Rightarrow$ A không chia hết cho 9.
Mà một số chính phương khi chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9 $\Rightarrow$ A không là số chính phương.
Mọi người đọc thấy cách này không được thì nc Anna biết ạ...^^... (Anna thấy cách của Anna toàn chữ...^^)

Câu 3:
1) Ta có: Q=2+$2^2+2^3+...+2^{20}$
$\Rightarrow$ 2Q=$2^2+2^3+2^4+...+2^{21}$
Lấy 2Q-Q=Q=$2^21$-2=$(2^4)^5$.2-2=$16^5$.2-2=($\overline{...6}$).2-2=($\overline{...2}$)-2=($\overline{...0})
Vậy chữ số tận cùng của Q là 0
Còn cách của anh, Anna chưa được học nên không biết "BS" là gì ạ...^^

2) Để $\dfrac{8n+193}{4n+3}$ có giá trị là số tự nhiên $\Rightarrow$ (8n+193) $\in$ (4n+3)
Ta có:
(8n+193)$\vdots$(4n+3) (1)
và (4n+3)$\vdots$(4n+3) $\Rightarrow$ 2(4n+3)$\vdots$(4n+3) $\Rightarrow$ (8n+6)$\vdots$(4n+3) (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ (8n+193)-(8n+6)$\vdots$(4n+3)
$\Rightarrow$ (8n+193-8n-6)$\vdots$(4n+3)
$\Rightarrow$ 187$\vdots$(4n+3)
Vì $\dfrac{8n+193}{4n+3}$ $\in$ $\mathbb{N}$ $\Rightarrow$ (4n+3)$\in$Ư(187)={1;11;17;187}
Vì 4n+3$\geq$3 nên 4n+3 $\in$ {11;17;197}
Ta có bảng sau: (Anna không kẻ bảng ở đây được ạ.. Khi kẻ bảng xong, có kết quả là: n$\in${2;46})
Vậy n$\in${2;46}$

3) b) Kết quả của Anna khác kết quả của a ạ, Anna làm ra, anh xem Anna có làm sai không ạ^^
Bài làm.
Ta thấy: Mỗi thừa số đều cách nhau 3 đơn vị.
Thừa số thứ hai của số hạng này, chính là thừa số thứ nhất của số sau nó.
$\Rightarrow$ Thừa số thứ nhất của số hạng thứ 50 trên dãy là:
1+(50-1).3=148
Thừa số thứ hai của số hạng thứ 50 trên dãy là:
4+(50-1).3=151
$\Rightarrow$ Số hạng thứ 50 của dãy là: 148.151
Vậy Số hạng thứ 50 của dãy là 148.151

Anna_Hanwura đã viết:

complexpiano000 đã viết:

Câu 2:
1) Với k $\in$ N*,xét các TH:
   -Nếu $p=3k-1$ thì $p+10=3k+9 \notin$ P
   -Nếu $p=3k+1$ thì $p+20=3k+21 \notin$ P
   $\Rightarrow p=3k \Rightarrow p=3$ (do p $\in$ P) (thoả đề bài)
   Vậy $p=3$.
2) Ta có: p và p+2 là số nguyên tố > 3 $\Rightarrow$ p và p+2 là số lẻ $\Rightarrow$ p+1 $\vdots$ 2 (1)
   Lại có: p, p+1, p+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp $\Rightarrow$ 1 trong 3 số phải $\vdots$ 3 $\Rightarrow$ p+1 $\vdots$ 3 (do p và p+2 $\in$ P) (2)
   Mà: 2 và 3 nguyên tố cùng nhau (3)
   (1),(2),(3) $\Rightarrow$ p+1 $\vdots$ 6
3) Ta có: ƯCLN(4n+3,2n+3)=1 $\Rightarrow \dfrac{4n+3}{2n+3}$ tối giản $\Rightarrow \dfrac{3}{2n+3}$ tối giản $\Rightarrow$ (2n+3) $\in$ {1;3} (loại 2n+3=1 do n $\in$ N) $\Rightarrow$ n=0.
4) Ta có: $A=3+3^2+...+3^{20}$ $\Rightarrow$ $3A=3^2+3^3+...+3^{21}$ $\Rightarrow$ $2A=3^{21}-3$ $\Rightarrow$ $A=\dfrac{3.(3^{20}-1)}{2}$
   Mà: $\dfrac{3^{20}-1}{2}$ không chia hết cho 3 và 3 $\vdots$ 3
  Nên: A $\vdots$ 3 nhưng không $\vdots$ 9 $\Rightarrow$ A không thể là số chính phương.

Câu 3:
1) Ta có: $Q=2+2^2+...+2^{20}$ $\Rightarrow$ $2Q=2^2+2^3+...+2^{21}$ $\Rightarrow$ $Q=2^{21}-2=2(32^4-1)=2((BS10+2)^4-1)=2(BS10+16-1)=BS10+30$ có tận cùng là 10.
2) Ta có: $\dfrac{8n+193}{4n+3} \in N$ $\Rightarrow$ $\dfrac{187}{4n+3} \in N$ $\Rightarrow$ $4n+3 \in$ {11;17} $\Rightarrow$ $n \in$ {2;3,5} (loại n=3,5 do n $\in$ n)
   Vậy n=2.
3) a) Ta có: $9^{2n+1}+1=9.81^n+1=9(...1)+1$ có tận cùng là 0 $\Rightarrow$ $9^{2n+1}+1 \vdots 10$
   b) Số hạng cần tìm là 50.53
4) Ta có: $\dfrac{x}{6}-\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{30} (y \not= 0) \Rightarrow 5xy-y=60 \Rightarrow y(5x-1)=60 \Rightarrow(5x-1) \in$ {-6;-1;4} (do $x \in Z$) $\Rightarrow x \in$ {-1;0;1} và $y \in$ {-10;-60;15}
   Vậy: $x_1=-1,y_1=-10$; $x_2=0,y=-60$; $x_3=1,y_3=15$

Anna chỉ góp chỉ chút thôi ạ...^^...
Câu 2.
1) vì trong tập hợp số nguyên tố, còn có số 2 là số nguyên tố nữa, nên anh phải xét cả p=2 nữa ạ, tuy là khi p=2 thì p+10 $\in$ P, nhưng mà vẫn phải xét đến số 2 ạ...^^

3) Ở dưới lớp 6, tụi em làm như thế này cơ ạ..^^:
Gọi d là ƯC(4n+3; 2n+3)           (với d $\in$ $\mathbb{N}$*)
$\Rightarrow$ (4n+3) $\vdots$ d                      (1)
và (2n+3) $\vdots$ d $\Rightarrow$ 2(2n+3) $\vdots$ d $\Rightarrow$ (4n+6) $\vdots$ d                   (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ (4n+6)-(4n+3) $\vdots$ d
                  $\Rightarrow$ (4n+6-4n-3) $vdots$ d
                  $\Rightarrow$ 3 $vdots$ d
                  $\Rightarrow$ d$\in$ {1;3}
Để (4n+3) và (2n+3) nguyên tố cùng nhau thì $d\neq$3.
$\Rightarrow$ Một trong hai số trên không chia hết cho 3.
Xét (4n+3) không chia hết cho 3 $\Leftrightarrow$ 4n không chia hết cho 3 $\Rightarrow$ n không chia hết cho 3
  Vậy với n không chia hết cho 3 thì 2n+3 và 4n+3 nguyên tố cùng nhau.

4) Anna có cách nữa là: Ta thấy mỗi số hạng của tổng A chia hết cho 3 $\Rightarrow$ A $\vdots$ 3.
Các số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi đều chia hết cho 9, nhưng số hạng đầu tiên không chia hết cho 9 $\Rightarrow$ A không chia hết cho 9.
Mà một số chính phương khi chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9 $\Rightarrow$ A không là số chính phương.
Mọi người đọc thấy cách này không được thì nc Anna biết ạ...^^... (Anna thấy cách của Anna toàn chữ...^^)

Câu 3:
1) Ta có: Q=2+$2^2+2^3+...+2^{20}$
$\Rightarrow$ 2Q=$2^2+2^3+2^4+...+2^{21}$
Lấy 2Q-Q=Q=$2^21$-2=$(2^4)^5$.2-2=$16^5$.2-2=($\overline{...6}$).2-2=($\overline{...2}$)-2=($\overline{...0})
  Vậy chữ số tận cùng của Q là 0
Còn cách của anh, Anna chưa được học nên không biết "BS" là gì ạ...^^

2) Để $\dfrac{8n+193}{4n+3}$ có giá trị là số tự nhiên $\Rightarrow$ (8n+193) $\in$ (4n+3)
Ta có:
   (8n+193)$\vdots$(4n+3)                      (1)
và (4n+3)$\vdots$(4n+3) $\Rightarrow$ 2(4n+3)$\vdots$(4n+3) $\Rightarrow$ (8n+6)$\vdots$(4n+3)                     (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ (8n+193)-(8n+6)$\vdots$(4n+3)
                  $\Rightarrow$ (8n+193-8n-6)$\vdots$(4n+3)
                  $\Rightarrow$ 187$\vdots$(4n+3)
Vì $\dfrac{8n+193}{4n+3}$ $\in$ $\mathbb{N}$ $\Rightarrow$ (4n+3)$\in$Ư(187)={1;11;17;187}
Vì 4n+3$\geq$3 nên 4n+3 $\in$ {11;17;197}
Ta có bảng sau: (Anna không kẻ bảng ở đây được ạ.. Khi kẻ bảng xong, có kết quả là: n$\in${2;46})
  Vậy n$\in${2;46}$

3) b) Kết quả của Anna khác kết quả của a ạ, Anna làm ra, anh xem Anna có làm sai không ạ^^
Bài làm.
Ta thấy: Mỗi thừa số đều cách nhau 3 đơn vị.
            Thừa số thứ hai của số hạng này, chính là thừa số thứ nhất của số sau nó.
         $\Rightarrow$ Thừa số thứ nhất của số hạng thứ 50 trên  dãy là:
                                   1+(50-1).3=148
                              Thừa số thứ hai của số hạng thứ 50 trên dãy là:
                                   4+(50-1).3=151
         $\Rightarrow$ Số hạng thứ 50 của dãy là: 148.151
          Vậy Số hạng thứ 50 của dãy là 148.151

Úi chà! Anh sai nhiều quá! Cho anh xin lỗi nhé!
Bài 2:
1) Trong TH p=3k-1 là anh đã có số 2 đó :)
3) Anh xét thiếu em ơi!
4) Em lí luận đúng r...

Bài 3:
1) BS là Bội số á! Ví dụ như BS3 là "Bội số của 3". Á xí lộn, tận cùng là 0 chứ k phải 10!!! Sorry!!!
2) Anh lại xét thiếu nữa! 187 còn có ước là 1 và 187...
3b) Cái này thì... Em đúng rồi còn gì! Anh ẩu quá, xét sai quy luật!

Cảm ơn Anna góp ý nha! Anh sẽ cẩn thận hơn! :)