Môn thi: Toán; Lớp: 7 Phổ Thông
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

câu 1.(4,0đ)
1) Rút gọn: A=($\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{10}$) : ($\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{12}$)
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=|x-2012|+|x-2013| với  x  là số tự nhiên.

Câu 2.(5,0đ)
1) Tìm  x  biết: $2^{x+2}$.$3^{x+1}$.$5^x$ = 10800.
2) Ba bạn An, Bình, và Cường có tổng số viên bi là 74. Biết rằng số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5. Tính số viên bi của mỗi bạn?

Câu 3.(4,0đ)
1) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR: $p^2$+2012 là hợp số.
2) Cho  n  là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm  n  biết  n+4  và  2n  đều là các số chính phương.

Câu 4.(6,0đ)
Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn.
1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B. Gọi H là trung điểm của BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI=BC, CMR hai tam giác ABI và BEC  bằng nhau và BI $\perp$ CE.
2) Phân giác của các góc $\widehat{ABC}$, $\widehat{BDC}$ cắt AC, BC lần lượt tại D, M. Phân giác của góc $\widehat{BDA}$ cắt BC tại N. CMR: BD=$\dfrac{1}{2}$MN.

Câu 5.(1,0đ)
Cho S=1-$\dfrac{1}{2}$+$\dfrac{1}{3}$-$\dfrac{1}{4}$+...+$\dfrac{1}{2011}$-$\dfrac{1}{2012}$+$\dfrac{1}{2013}$ và P=$\dfrac{1}{1007}$+$\dfrac{1}{1008}$+$\dfrac{1}{1009}$+...+$\dfrac{1}{2012}$+$\dfrac{1}{2013}$. Tính $(S-P)^{2013}$

Câu 1
1) Đáp số: $A=2,4$
2) - Với $x<2012$, ta có: $|x-2012|+|x-2013|=2012+2013-2x>4025-2.2012=1$
- Với $x>2013$, ta có: $|x-2012|+|x-2013|=2x-2012-2013>2.2013-4015=1$
- Với $2012 \le x \le 2013$, ta có: $|x-2012|+|x-2013|=x-2012+2013-x=1$
Vậy GTNN của P là 1, tại $x=2012; x=2013$ (do $x \in N$)

Câu 2:
1) Ta có: $2^{x+2}.3^{x+1}.5^x=10800=2^4.3^3.5^2 \Rightarrow x=2$
2) Đặt số bi của Bình là 12k $\Rightarrow$ số bi của An, Cường lần lượt là 10k và 15k. Mà: 12k+10k+15k=74 $\Rightarrow$ số bi của An, Bình, Cường lần lượt là 20, 24 và 30 viên bi.

Câu 3:
1) Do $p \in P$ và $p>3$ nên $p$ có dạng $3k+1$ hoặc $3k-1$ ($k \in N*, k \le 2$)
- Với $p=3k+1$, ta có: $p^2+2012=(3k+1)^2+2012=9k^2+6k+2013 \vdots 3$
- Với $p=3k-1$, ta có: $p^2+2012=(3k-1)^2+2012=9k^2-6k+2013 \vdots 3$
Vậy $p^2+2012$ là hợp số.
2) Ta có: $2n$ là số chính phương chẵn $\Rightarrow 2n \vdots 4 \Rightarrow n \vdots 2 \Rightarrow n+4 \vdots 2 \Rightarrow n+4 \vdots 4$ (do $n+4$ là số chính phương)
Lại có: $10 \le n \le 99 \Rightarrow 14 \le n+4 \le 103 \Rightarrow (n+4) \in$ {16; 36; 64; 100} (do $n+4$ là số chính phương) $\Rightarrow n \in$ {12; 32; 60; 96} $\Rightarrow 2n \in$ {24; 64; 120; 192} (loại 24; 120; 192 do không là số chính phương).
Vậy $n=32$

Câu 4: (các bạn tự vẽ hình nhé!)
1) CM được $AH \perp BC, AH$ là tia p.giác $\widehat{BAC} \Rightarrow \widehat{BAH}+\widehat{ABC}=90^o$. CM được $\widehat{ABC}+\widehat{EBx}=90^o$ ($Bx$ là tia đối tia $BC$)
$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{EBx} \Rightarrow 180^o-\widehat{BAH}=180^o-\widehat{EBx} \Rightarrow \widehat{BAI}=\widehat{EBC}$
CM được $AC=AB=BE$ và có gt $AI=BC$
Từ đó CM được $\bigtriangleup{ABI}=\bigtriangleup{BEC} \Rightarrow \widehat{ABI}=\widehat{BEC}$
Gọi $K$ là giao điểm $BI$ và $CE$. Ta có: $\widehat{KBE}+\widehat{KEB}=\widehat{IBE}+\widehat{BEC}=\widehat{IBE}+\widehat{ABI}=\widehat{ABE}=90^o \Rightarrow \bigtriangleup{BEK}$ vuông tại K $\Rightarrow BI \perp CE$
2) Gọi $DI$ là đ.t.tuyến $\bigtriangleup{DMN}$. CM được $\bigtriangleup{DMN}$ vuông tại $D$. Sử dụng bổ đề: "trong một tam giác vuông, đ.t.tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền" (đối với các em lớp 7), ta có: $DI=IM=IN=\dfrac{MN}{2}$. (1)
Đặt $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=4a \Rightarrow \widehat{CBD}=2a \Rightarrow \widehat{BDC}=180^o-6a \Rightarrow \widehat{BDM}=\widehat{CDM}=90^o-3a \Rightarrow \widehat{CDN}=3a$ và $\Rightarrow \widehat{DMN}=\widehat{BDM}+\widehat{CBD}=90^o-a \Rightarrow \widehat{DNI}=\widehat{DNM}=90^o-\widehat{DMN}=a$.
Lại có: $DI=IN \Rightarrow \bigtriangleup{DIN}$ cân tại $I \Rightarrow \widehat{IDN}=\widehat{DNI}=a \Rightarrow \widehat{DIB}=\widehat{IDN}+\widehat{DNI}=a+a=2a=\widehat{CBD}=\widehat{DBI} \Rightarrow \bigtriangleup{IBD}$ cân tại $D \Rightarrow BD=DI$ (2)
(1),(2) $\Rightarrow BD=\dfrac{MN}{2}$

Câu 5:
$(S-P)^{2013}=(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{1005}-\dfrac{1}{1006})^{2013}$ (mình không biết kết quả này còn có thể rút gọn được không, mong các bạn giúp đỡ nhé!)