Xin chào
DIỄN ĐÀN HỌC TẬP


  • Ghi nhớ 
Thời gian trên Ribbons
Đây là forum về cái gì đó mà forum này nó nói về có tên là cái gì đó hoặc cái gì đó đó nói chung cái đó là cái đó không nhất thiết phải biết cái đó có phải đó không nhưng nói chung đó là cái đó :v
Liên kết forum

Logged in as Anonymous. Lần truy cập trước của bạn:

You are not connected. Please login or register

Xem chủ đề cũ hơn Xem chủ đề mới hơn Go down  Thông điệp [Trang 1 trong tổng số 1 trang]

avatar
Memvip
Chức vụ : Memvip
Posts Posts : 100
Points Points : 396
Thanked Thanked : 83
Posts Posts : 100
Points Points : 396
Thanked Thanked : 83
Xem lý lịch thành viên

Bài thứ 1 [Toán 9] Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovsky on Sun Aug 10, 2014 8:42 pm

1. Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)
- Phát biểu: Cho n số không âm. Trung bình cộng của n số đó lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của n số đó.
$\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_n}$
- Chứng minh: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Chứng minh được mệnh đề đúng với n=2.
Giả sử bđt trên đúng với n=k (tức $\dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k} \ge \sqrt[k]{a_1a_2...a_k}$)
Giả sử $a_1 \le a_2 \le ... \le a_{k} \le a_{k+1}$ $\Rightarrow$ $a^{k+1} \ge \dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k}$
Đặt $\dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k}=x (x \ge 0) \Rightarrow a_{k+1}=x+y (y \ge 0)$ và $x^k \ge a_1a_2...a_k$
Ta có: $(\dfrac{a_1+a_2+...+a_{k+1}}{k+1})^{k+1} = (\dfrac{kx+x+y}{k+1})^{k+1} = (x+\dfrac{y}{k+1})^{k+1} \ge x^{k+1}+(k+1).(\dfrac{y}{k+1}).x^k = x^{k+1}+x^k.y = x^k.(x+y) = a_1a_2...a_ka_{k+1}$ $\Rightarrow$ $\dfrac{a_1+a_2+...+a_k+a_{k+1}}{k+1} \ge \sqrt[k+1]{a_1a_2a_3...a_{k+1}}$
Suy ra mệnh đề đúng với mọi n$\ge$2.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=...=a_n$
2. Bất đẳng thức Bunyakovsky (Cauchy-Schwartz)
- Phát biểu: Cho 2 bộ n số ($a_1,a_2,...,a_n$) và ($b_1,b_2,...,b_n$). Như vậy: ($a_1^2+a_2^2+...a_n^2$)($b_1^2+b_2^2+...+b_n^2$) $\ge$ $(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$
-Chứng minh: Sử dụng bđt đã biết và đặt ẩn phụ.
Đặt A=$a_1^2+a_2^2+...a_n^2$, B=$b_1^2+b_2^2+...+b_n^2$, C=$a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$.
Nếu A=0, B=0 thì bđt hiển nhiên đúng.
Xét A,B $\not=$ 0. Với mọi x $\in$ R, ta có:
$a_1^2x^2-2a_1b_1+b_1^2 = (a_1x-b_1)^2 \ge 0$
$a_2^2x^2-2a_2b_2+b_2^2 = (a_2x-b_2)^2 \ge 0$
................
$a_n^2x^2-2a_nb_n+b_n^2 = (a_nx-b_n)^2 \ge 0$
$\Rightarrow$ ($a_1^2+a_2^2+...a_n^2$)$x^2$ - $2(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)x$ + ($b_1^2+b_2^2+...+b_n^2$) $\ge$ 0
$\Leftrightarrow$ $Ax^2-2Cx+B \ge 0$
Thay x = $\dfrac{C}{A}$, ta có: $A.\dfrac{C^2}{A^2}-2.\dfrac{C^2}{A}+B \ge$ 0 $\Leftrightarrow$ $-C^2+AB \ge$ 0 (do A > 0) $\Leftrightarrow$ $AB \ge C^2$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi: $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{1}{x}$ và quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0.


0
avatar
Memvip
Chức vụ : Memvip
Posts Posts : 100
Points Points : 396
Thanked Thanked : 83
Posts Posts : 100
Points Points : 396
Thanked Thanked : 83
Xem lý lịch thành viên

Bài thứ 2 Re: [Toán 9] Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovsky on Mon Aug 11, 2014 5:40 pm

Hệ quả của bđt Bunyakovsky:
1/ AM-HM: Cho n số dương. Trung bình cộng của n số đó lớn hơn hoặc bằng trung bình điều hoà của n số đó. Đẳng thức xảy ra khi n số đó bằng nhau.
   $\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_n}}$
2/ Bunyakovsky dạng phân thức: Cho 2 bộ số $(a_1,a_2,...,a_n)$ không âm và $(b_1,b_2,...,b_n)$ dương. Ta có:
   $\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_2}+...+\dfrac{a_n^2}{b_n} \ge \dfrac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$
   Đẳng thức xảy ra khi: $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n}$

0
avatar
Memvip
Chức vụ : Memvip
Posts Posts : 100
Points Points : 396
Thanked Thanked : 83
Posts Posts : 100
Points Points : 396
Thanked Thanked : 83
Xem lý lịch thành viên

Bài thứ 3 Re: [Toán 9] Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovsky on Mon Aug 11, 2014 6:26 pm

Có thể giúp mình chứng minh bđt Minkowsky với 3 bộ số và nêu rõ điều kiện xảy ra đẳng thức được không? Cảm ơn các bạn nhiều!
Cho 3 bộ số $(a_1,a_2,...,a_n)$, $(b_1,b_2,...,b_n)$, $(c_1,c_2,...,c_n)$. Chứng minh: $\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2+...+b_n^2}+\sqrt{c_1^2+c_2^2+...+c_n^2} \ge \sqrt{(a_1+b_1+c_1)^2+(a_2+b_2+c_2)^2+...+(a_n+b_n+c_n)^2}$

0
Sponsored content
Chức vụ :

Xem chủ đề cũ hơn Xem chủ đề mới hơn Về Đầu Trang  Thông điệp [Trang 1 trong tổng số 1 trang]

Permissions in this forum:
Bạn không có quyền trả lời bài viết

Skin Cadetblue Ribbons © FCAMUSEMENT 2014
Kích hoạt bởi Forumotion - Punbb Version
Thiết kế và lập trình bởi Méo Hắc Hắc - NCat
Chúng tôi không chịu trách nhiệm về bất cứ vấn đề nào liên quan đến bài viết
Không RIP skin hoặc BÁN skin dưới mọi hình thức