Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4điểm)
a) Tính nhanh:
A = $\dfrac{1.5.6+2.10.12+4.20.24+9.45.54}{1.3.5+2.6.10+4.12.20+9.27.45}$
b) Chứng minh:
Với k$\in$$\mathbb{N}$* ta luôn có:
k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1) = 3.k(k+1).
Áp dụng tính tổng:
S = 1.2+2.3+3.4+....+n(n+1). Với n=20 thì S=?

Câu 2: (3điểm)
a) Chứng minh rằng nếu: ($\overline{ab}$ + $\overline{cd}$ + $\overline{eg}$) $\vdots$ 11 khi và chỉ khi $\overline{abcdeg}$ $\vdots$ 11.
b) Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 đến 2013 liền nhau thành một số tự nhiên L. Hỏi số tự nhiên L có bao nhiêu chữ số?

Câu 3: (4điểm)
a) Tìm số tự nhiên x, biết:
($\dfrac{1}{1.2.3}$ + $\dfrac{1}{2.3.4}$ + .... + $\dfrac{1}{8.9.10}$).x = $\dfrac{23}{45}$
b) Tìm tất cả các số B=$\overline{62xy427}$, biết rằng số B chia hết cho 99

Câu 4: (2điểm)
Tổng kết đợt thi đua kỷ niệm ngày nhà giáo Việt Nam 20/11, lớp 6A có 43 bạn được từ 1 điểm 10 trở lên; 39 bạn được từ 2 điểm 10 trở lên; 14 bạn được từ 3 điểm 10 trở lên; 5 bạn được 4 điểm 10 trở lên; không có ai trên 4 điểm 10. Tính xem trong đợt thi đua đó lớp 6A có bao nhiêu điểm 10?

Câu 5: (3điểm)
Trên tia Ox cho 4 điểm A,B,C,D. Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D; OA = 5cm; OD = 2cm; BC = 4cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. Tìm độ dài các đoạn BD; AC.

Câu 6: (4điểm)
a) Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm ta vẽ được một đường thẳng. Tìm a, biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng.
b) Tìm số tự nhiên n sao cho: 1!+2!+3!+..+n! là số chính phương?

Câu 1:
a) A = $\dfrac{1.5.6+2.10.12+4.20.24+9.45.54}{1.3.5+2.6.10+4.12.20+9.27.45}=\dfrac{1.5.6.(1+2^3+4^3+9^3)}{1.3.5.(1+2^3+4^3+9^3)}=2$
b) Ta có: $k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)=k(k+1)(k+2-k+1)=3k(k+1)$
$\Rightarrow$ $S=\dfrac{-0.1.2+1.2.3-1.2.3+2.3.4-...-(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)}{3}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
Vậy với n=20 thì S=3080

Câu 3:
a) Ta có: $\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}= \dfrac{1}{2}.(\dfrac{1}{n(n+1)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)})$
Áp dụng để biến PT trên thành: $\dfrac{11}{45}.x=\dfrac{23}{45} \Rightarrow x=\dfrac{23}{11}$
b) Ta có: $B \vdots 99 \Rightarrow B \vdots 9$ và $B \vdots 11$ (do 9 và 11 ng tố cùng nhau)
Ta có: $B \vdots 11 \Rightarrow (6+x+4+7)-(2+y+2) \vdots 11 \Rightarrow 13+x-y \vdots 11 \Rightarrow x-y+2 \vdots 11 \Rightarrow x-y+2 \in$ {0;11} (do $x$ có thể $\le$ y) $\Rightarrow x-y \in$ {-2;9} (1)
Lại có: $B \vdots 9 \Rightarrow (6+x+4+7+2+y+2) \vdots 9 \Rightarrow (x+y+21) \vdots 9 \Rightarrow (x+y+3) \vdots 9 \Rightarrow x+y+3 \in$ {9;18} $\Rightarrow x+y \in$ {6;15} (2)
- Với x-y=9 thì x=0, y=9 (không thoả (2))
- Với x-y=-2 thì x=y-2. Vì x-y,x+y cùng chẵn (lẻ) nên x+y=6. Vậy x=2,y=4.

Câu 2:
a) Đặt $\overline{ab}=11k+x$, $\overline{cd}=11h+y$, $\overline{ef}=11l+z$ $\Rightarrow \overline{ab}+\overline{cd}+\overline{ef}=11(k+h+l)+(x+y+z)$ (1)
Ta có: $\overline{abcdef} \vdots 11 \Rightarrow 10000\overline{ab}+100\overline{cd}+\overline{ef} \vdots 11 \Rightarrow (10000(11k+x)+100(11h+y)+(11l+z))-(9999x+99y) \vdots 11 \Rightarrow x+y+z \vdots 11$ (2)
(1),(2) $\Rightarrow$ đpcm.
b) Số các chữ số từ 1 đến 9: 1.(9-1+1)=9 (số)
Số các chữ số từ 10 đến 99: 2.(99-10+1)=180 (số)
Số các chữ số từ 100 đến 999: 3.(999-100+1)=2700 (số)
Số các chữ số từ 1000 đến 2013: 4.(2013-1000+1)=4056 (số)
$\Rightarrow$ L có: 9+180+2700+4056=6945 (số)