Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1. (2,5điểm)
So sánh:
a) A = $\dfrac{20132013}{20142014}$ với B = $\dfrac{131313}{141414}$
b) M = $2013^9$ + $2013^{10}$ với N = $2014^{10}$
c) So sánh a và b biết a,b là hai số tự nhiên và $\dfrac{1+2+3+...+a}{a}$ < $\dfrac{1+2+3+...+b}{b}$

Bài 2. (4điểm)
Tính tổng:
a) S = a+ $\dfrac{1}{2}$(1+2) + $\dfrac{1}{3}$(1+2+3) + $\dfrac{1}{4}$(1+2+3+4)+...+$\dfrac{1}{2013}$(1+2+3+...+2013)
b) P = $\dfrac{1-3}{1.3}$ + $\dfrac{2-4}{2.4}$ + $\dfrac{3-5}{3.5}$ + $\dfrac{4-6}{4.6}$ +...+ $\dfrac{2011-2013}{2011.2013}$ + $\dfrac{2012-2014}{2012.2014}$ - $\dfrac{2013+2014}{2013.2014}$
c) C = 3+$\dfrac{3}{2}$+$\dfrac{3}{2^2}$+...+$\dfrac{3}{2^9}$
d) D = $\dfrac{1+2+2^2+2^3+...+2^{2012}}{2^{2014}-2}$

Bài 3. (5điểm)
1) Cho phân số M = $\dfrac{6n-1}{3n+2}$
a) Tìm n $\in$ $\mathbb{N}$ để M có giá trị nguyên.
b) Tìm n $\in$ $\mathbb{N}$ để M có giá trị nhỏ nhất.
2) Tìm n để phân số $\dfrac{2n+3}{4n+1}$ là phân số tối giản.
3) Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường thì sau 8 ngày sẽ hoàn thành. Sau khi hai đội cùng làm được 3 ngày thì đội thứ nhất đi làm việc khác, đội thứ hai làm tiếp 15 ngày thì hoàn thành.
a) Nếu ban đầu chỉ có đội thứ hai làm thì mất bao nhiêu ngày mới làm xong đoạn đường.
b) Nếu sau ba ngày hai đội cùng làm đội thứ hai nghỉ, chỉ còn đội thứ nhất làm thì đội thứ nhất phải làm bao nhiêu ngày mới hoàn thành đoạn đường.

Bài 4. (5điểm)
1) Cho đoạn thẳng AB. Điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của OA và AB.
a) Trong ba điểm O,M,N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?
b) Chứng tỏ độ dài đoạn MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O.
2) Trên đường thẳng AM, lấy điểm O nằm giữa A và M. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AM vẽ các tia OB và OC sao cho góc $\widehat{MOC}$ = $150^o$ ; $\widehat{BOC}$ = $70^o$. Trên nửa mặt phẳng đối diện dựng tia AD (D không cùng nằm nửa mặt phẳng với B, C bờ là AM) sao cho góc $\widehat{AOD}$ bằng $45^o$.
a) Tia OB có nằm giữa hai tia OM, OC không? Vì sao?
b) Tính góc $\widehat{MOB}$; $\widehat{AOC}$.
c) Chứng tỏ rằng ba điểm D, O, B thẳng hàng.

Bài 5. (3,5điểm)
1) Cho M = 32+$10^{2011}$+$10^{2012}$+$10^{2013}$+$10^{2014}$
a) Chứng minh rằng M chia hết cho 8.
b) Tìm số dư khi chia M cho 24.
2) Tìm bốn số chẵn liên tiếp có tổng bằng 5420.
3) Tìm số nguyên x để $(x-1)^2$ = 25

Administrator đã viết:

c) $\dfrac{1+2+3+...+a}{a}=\dfrac{\dfrac{(1+a)a}{2}}{a}=\dfrac{a^2(a+1)}{2}$

Tương tự $\dfrac{1+2+3+...+b}{b}=\dfrac{b^2(b+1)}{2}$

Theo trên và theo đề ta có $a^2(a+1)<b^2(b+1)$

Mà $a,b \in N \\ \Rightarrow a<b$

$\dfrac{1+2+3+...+a}{a}=\dfrac{\dfrac{(1+a)a}{2}}{a}=\dfrac{a(a+1)}{2a}=\dfrac{a+1}{2}$

Tương tự $\dfrac{1+2+3+...+b}{b}=\dfrac{b(b+1)}{2b}=\dfrac{b+1}{2}$

Theo trên và theo để ta có: (a+1)<(b+1)

Mà $a,b \in \mathbb{N}$
$\Rightarrow a<b$