Qua hàng trăm năm, các nhà toán học đã xây dựng một hệ thống lý thuyết từ những cái đã biết đến những cái chưa biết bằng chứng minh logic; tuy nhiên, đến cuối thế kỉ XIX, thay vì tiếp tục xây dựng hệ thống toán học, các nhà logic toán học đã bắt đầu quay lại để kiểm tra nền tảng của toán học và xây dựng chặt chẽ lại tất cả từ những nguyên lí đầu tiên, nhằm tái đảm bảo cho họ là những nguyên lí đầu tiên ấy là đáng tin cậy.
Vì lẽ đó, những nhà nghiên cứu logic thường suy luận chặt chẽ hơn rất nhiều so với những nhà toán học thông thường; họ đặt ra nghi vấn đối với những ý tưởng mà các nhà toán học khác coi là lẽ đương nhiên từ hàng trăm thế kỉ nay. Ví dụ như, họ đã chứng minh 1+1=2, hoặc định luật "tam phân" phát biểu mọi số thực đều âm, hoặc dương, hoặc bằng 0. Đối với nhà logic toán học, chừng nào điều này chưa được chứng minh, thì toán học vẫn có nguy cơ sụp đổ. May thay là nó đã được chứng minh là đúng vào cuối thế kỉ XIX.
Một đội ngũ các nhà logic học đã tham gia quá trình xây dựng lại cơ thể phức tạp của toán học mà chỉ sử dụng một số tiên để tối thiểu. Chương trình trên được lãnh đạo bởi David Hilbert - một trong những gương mặt sáng giá nhất của thời đại. Ông tin mọi thứ trong toán học có thể chứng minh được và cần phải được chứng minh dựa trên hệ tiên đề cơ sở, và vì thế, cần chứng minh dứt khoát 2 cơ sở quan trọng nhất của hệ thống toán học:
- Về mặt lý thuyết, toán học cần trả lời mọi câu hỏi riêng biệt; đây cũng là bản chất của tính đầy đủ mà trong quá khứ đã đòi hỏi phải phát minh ra những số mới, chẳng hạn số âm và số ảo (căn bậc hai của số âm).
- Toán học phải thoát khỏi sự mâu thuẫn. Có nghĩa là, khi chứng minh một mệnh đề là đúng (hay sai) bằng cách này thì không thể chứng minh mệnh đề mang kết quả ngược lại bằng cách khác.

Ngày 8/8/1900, Hilbert đã đọc bản báo cáo lịch sử tại Hội nghị toán học quốc tế ở Paris. Ông đã nêu lên 23 bài toán cấp thiết nhất trong toán học mà chưa được giải. Những bài toán này có ý định tập trung sự chú ý của thế giới toán học và đưa ra một chương trình nghiên cứu. Hilbert muốn khích lệ cộng đồng toán học giúp ông thực hiện quan điểm về một hệ thống toán học thoát khỏi sự ngờ vực và mâu thuẫn - một hoài bão mà ông đã cho khắc trên mộ chí của mình:
              Wir müssen wissen - chúng ta phải biết
             Wir werden wissen - chúng ta sẽ biết
Một trong những đối thủ của Hilbert, Gotlob Frege, lại là một trong những ngọn đèn dẫn đầu của chương trình Hilbert. Ông đã tận tuỵ rút ra hàng trăm định lý phức tạp từ những tiên đề đơn giản; những thành công ấy đã khiến ông tin rằng ông đã đi đúng đường để hoàn thành một phần chương trình Hilbert. Một trong những công trình đột phá của ông là định nghĩa các con số. Ví dụ, lấy số 3. Trước hết, ta cần định nghĩa "cái 3". Đó là một định nghĩa trừu tượng của tập hợp các đối tượng chứa 3 phần tử. Có thể là 3 con chuột, hay 3 cạnh của một tam giác. Frege nhấn mạnh có rất nhiều tập hợp phô bày "cái 3" và ông đã sử dụng ý tưởng về các tập hợp để định nghĩa chính số "3". Do đó, "một tập hợp có 3 phần tử khi và chỉ khi nó nằm trong tập hợp "3" ". Có vẻ điều này quá phức tạp đối với một khái niệm mà ta dùng hàng ngày, nhưng nó thực sự chặt chẽ và không thể chối cãi, và hoàn toàn cần thiết đối với chương trình không thoả hiệp của Hilbert.


Năm 1290, Frege chuẩn bị công bố công trình Những nguyên lý cơ bản của Số học - một công trình 2 tập đồ sộ mang nội dung thiết lập một tiêu chuẩn mới của tính xác định trong toán học. Cùng lúc đó, nhà logic học người Anh Bertrand Russel, người cũng đóng góp vào chương trình Hilbert, đã công bố một phát hiện mang tính chất đột phá: "Toán học có thể mâu thuẫn một cách cố hữu", dù đã theo đuổi nghi thức chặt chẽ của Hilbert. Ông nhớ lại phản ứng của mình đối với phát hiện kinh khủng ấy như sau:
"Đầu tiên, tôi nghĩ rằng mình có thể vượt qua mâu thuẫn đó một cách dễ dàng, và có lẽ đã có một sai lầm tầm thường nào đó trong lập luận. Nhưng dần dần, tình hình càng trở nên rõ ràng không phải như vậy... Suốt nửa sau của năm 1901, tôi tưởng việc giải quyết sẽ dễ dàng, nhưng đến cuối giai đoạn đó tôi đi đến kết luận rằng đó là một công việc lớn... Đêm nào tôi cũng có thói quen đi lang thang, từ 11 giờ đến 1 giờ, trong thời gian đó tôi đã nhận ra 3 tiếng kêu khác nhau của con cú (hầu hết mọi người chỉ biết một). Tôi đã hết sức cố gắng giải quyết mâu thuẫn. Sáng sáng tôi lại ngồi trước một tờ giấy trắng. Rồi suốt cả ngày, trừ một khoảng thời gian bữa trưa ngắn ngủi, tôi cứ ngồi nhìn chòng chọc vào tờ giấy trắng đó. Và thường thì khi đêm đến nó vẫn còn trắng tinh như vậy".
Không thể thoát khỏi mâu thuẫn. Russel bèn viết thư cho Frege, người đang có bản thảo nằm tại nhà in; tuy nhiên Frege vẫn công bố công trình ấy bất chấp cú knock-out ấy. "Một nhà khoa học khó có thể có một sự thất vọng nào lớn hơn khi thấy nền tảng lý thuyết của mình bị sụp đổ đúng vào lúc công trình vừa mới kết thúc. Tôi đã bị đặt vào trong tình thế này bởi nhận được lá thư từ ngài Bertrand Russel khi công trình của tôi sắp được công bố". Điều trớ trêu là những mâu thuẫn Russel phát hiện lại xuất phát từ chính những tập hợp của Frege. "Dường như đối với tôi, một tập hợp đôi khi là, và đôi khi không là, phần tử của chính nó. Chẳng hạn, tập hợp những cái thìa uống trà không là một cái thìa uống trà, nhưng tập hợp những đồ vật không là thìa uống trà lại là một trong những thứ không là thìa uống trà." Nghịch lý Russel có thể được giải thích bằng việc một vị thủ thư kỹ lưỡng:
"Vị thủ thư kỹ lưỡng ấy phát hiện một tập hợp các danh mục. Một số danh mục liệt kê cả bản thân nó, trong khi các danh mục khác lại không như vậy. Nhằm hệ thống lại, ông ta đã làm thêm 2 danh mục nữa: một danh mục tất cả các danh mục tự liệt kê được bản thân nó (1) và một danh mục tất cả những danh mục không thể tự liệt kê được bản thân nó (2). Vấn đề là, liệu danh mục (2) có được liệt kê trong chính nó không? Nếu có, thì theo định nghĩa nó sẽ không được liệt kê; tuy nhiên, nếu nó không được liệt kê, thì theo định nghĩa, nó sẽ được liệt kê. Và người thủ thư rơi vào một tình thế không thể quyết định được".
Điều đáng chú ý là, những danh mục giống với những tập hợp mà Frege đã sử dụng trong định nghĩa cơ bản của những con số. Sự mâu thuẫn này đã gây phiền nhiễu cho toán học - thế giới không có sự thiếu nhất quán và mâu thuẫn. Ví dụ như một trong những công cụ chứng minh mạnh mẽ - phản chứng, dựa trên cơ sở lập luận toán học không có nghịch lý. Có nghĩa là, khi một giả thuyết dẫn tới vô lý thì nó sai; tuy nhiên theo Russel, thậm chí các tiên đề cũng có thể dẫn tới những kết quả vô lý. Suy ra, có thể chứng minh một tiên đề là sai, trong khi bản thân các tiên đề lại là nền tảng của toán học và đã được thừa nhận là đúng. Công trình nghiên cứu của Russel đã lay chuyển nền tảng toán học và đẩy sự nghiên cứu logic toán học vào một trạng thái hỗn loạn. Như thế, cùng với Hilbert và các nhà logic khác, Russel cũng tìm cách cố gắng chữa chạy tình thế và hồi phục toán học.
Sự mâu thuẫn trên, suy cho cùng, là hệ quả của quá trình làm việc với các tiên đề của toán học mà vốn được coi là hiển nhiên, xác định phần còn lại của toán học. Có một hướng nghiên cứu là sáng tạo ra một tiên đề ngăn cấm bất kỳ một tập hợp nào là phần tử của chúng. Điều này sẽ chặn được nghịch lý Russel, bằng cách biến câu hỏi về danh mục thành một câu hỏi thừa.
Russel đã dành một thập kỷ tiếp theo để xem xét các tiên đề toán học, phần chủ yếu nhất của môn học này. Năm 1910, cùng sự cộng tác của Alfred North Whitehead, ông đã cho công tập I của một bộ sách 3 tập Những nguyên lý của toán học nhằm xử lý một phần vấn đề do nghịch lý của chính ông tạo ra; đó như một cuốn cẩm nang nhằm thiết lập một toà nhà toán học không có sai lầm. Vào thời điểm Hilbert nghỉ hưu năm 1930, ông tự tin là toán học đang đi đúng trên con đường phục hồi. Mơ ước của Hilbert về một hệ logic phi mâu thuẫn, đủ mạnh để trả lời mọi câu hỏi, rõ ràng đang trở thành hiện thực.
(Còn tiếp)

Nhưng đến năm 1931, một nhà toán học 25 tuổi chưa được ai biết đến, Kurt Godel, đã công bố một công trình làm tiêu tan vĩnh viễn hy vọng của Hilbert bằng việc buộc các nhà toán học chấp nhận toán học có thể không bao giờ là hoàn hảo về mặt logic, và công trình của ông đã gây ra ý nghĩ rằng các bài toán chưa được giải có thể thậm chí không thể nào giải được. Năm 20 tuổi, Godel chính thức làm việc tại khoa toán, nhưng thỉnh thoảng vẫn cùng các đồng nghiệp đi lang thang xuống hành lang để dự những cuộc họp của Wiener Kreis (Hội Thành Vienne) - một nhóm các nhà triết học thảo luận những câu hỏi logic lớn của thời đại. Điều đó diễn ra trong suốt thời kỳ Godel phát triển các ý tưởng mà sau này sẽ huỷ hoại nền tảng toán học.
Năm 1931, Godel công bố quyển sách về những mệnh đề hình thức không thể quyết định và những hệ quả liên quan trong cuốn Những nguyên lý của toán học, trong đó có chứa những định lý về tính không thể quyết định được. Ngay sau đó, nhà toán học lớn John von Neumann đã lập tức huỷ loạt bài giảng của ông về chương trình Hilbert và thay phần còn lại của giáo trình bằng cuộc thảo luận về công trình mang tính cách mạng của Godel.
Godel đã chứng minh việc cố gắng tạo ra một hệ thống toán học đầy đủ và phi mâu thuẫn là bất khả thi; tư tưởng của ông về tính không thể quyết định có thể gói gọn trong 2 mệnh đề:
- Định lý thứ nhất: Nếu lý thuyết dựa trên một hệ tiên đề là phi mâu thuẫn thì tồn tại những định lý không thể chứng minh hoặc không thể bác bỏ.
- Định lý thứ hai: Không có một quy trình kiến thiết nào cho phép chứng minh một lý thuyết dựa trên hệ tiên đề là phi mâu thuẫn.
Mệnh đề thứ nhất chủ yếu nói rằng bất kể tập hợp tiên đề nào được sử dụng, sẽ có những câu hỏi mà toán học không thể trả lời; nghĩa là sẽ không thể đạt được tính đầy đủ. Tệ hơn nữa, mệnh đề thứ hai nói thậm chí toán học có thể sẽ không bao giờ biết chắc sự chọn lựa tiên đề của nó sẽ không dẫn đến một mâu thuẫn - nghĩa là tính phi mâu thuẫn sẽ không bao giờ đạt được. Nói cách khác, chương trình Hilbert là bất khả thi. Tuy nhiên, dù mệnh đề thứ hai của Godel nói rằng không thể chứng minh những tiên đề là phi mâu thuẫn, nhưng chúng không nhất thiết là mâu thuẫn. Các nhà toán học vẫn tin toán học là phi mâu thuẫn trong trái tim họ, nhưng lại không thể chứng minh được điều này bằng khối óc họ. Nhiều năm sau, nhà lý thuyết số André Weil nói: "Chúa tồn tại vì toán học là phi mâu thuẫn, và Quỷ tồn tại vì chúng ta không thể chứng minh được điều đó.".
Trên thực tế, cả cách phát biểu lẫn chứng minh các định lý của Godel đều cực kỳ phức tạp. Ví dụ, cách phát biểu chặt chẽ Định lý thứ nhất của Godel về tính không thể quyết định có dạng như sau: "Ứng với mỗi lớp $\omega$ đệ quy phi mâu thuẫn -$\kappa$ của các công thức, có tồn tại một lớp đệ quy các dấu $r$ sao cho cả $v Gen r$ lẫn $Neg(v Gen r)$ đều không thuộc $Flg(\kappa)$ (trong đó $v$ là biến tự do của $r$)." Tuy nhiên, cũng như nghịch lý Russel, Định lý thứ nhất của Godel cũng được minh hoạ bằng một câu chuyện khác tương tự do Epimenides (một nhà thơ, tu sĩ cổ Hy Lạp thế kỷ VII-VI trước Công nguyên) sáng tác, nổi tiếng với cái tên nghịch lý Crete hay nghịch lý kẻ nói dối. Là người thuộc đảo Crete (Hy Lạp), Epimenides tuyên bố: "Ta là kẻ nói dối!"
Nghịch lý xuất hiện khi ta xem xét mệnh đề trên đúng hay sai.
- Xét trường hợp mệnh đề đúng $\Leftrightarrow$ Epimenides nói dối $\Leftrightarrow$ Phát biểu của Epimenides là sai $\Leftrightarrow$ Mệnh đề trên là sai (vô lí)
- Xét trường hợp mệnh đề sai $\Leftrightarrow$ Epimenides nói thật $\Leftrightarrow$ Phát biểu của Epimenides là đúng $\Leftrightarrow$ Mệnh đề trên là đúng (vô lí)
Kết luận: Mệnh đề trên không có bất kỳ một chứng minh nào. Nếu mệnh đề sai thì nó có thể chứng minh được, nhưng điều này lại mâu thuẫn với chính mệnh đề đó; do đó, mệnh đề phải đúng để đảm bảo tính phi mâu thuẫn. Tuy nhiên, ta lại không thể chứng minh mệnh đề trên đúng dù nó đúng, bởi chính mệnh đề trên đã nói vậy.
Vì Godel có thể phiên dịch mệnh đề trên thành một khái niệm toán học, nên ông có thể chứng minh trong toán học tồn tại những mệnh đề đúng, nhưng không bao giờ có thể chứng minh nó đúng: những mệnh đề không thể quyết định được. Đây là một đòn chí mạng giáng vào chương trình Hilbert.
Điều đáng nói là, trong khi các nhà logic tranh luận với mức độ chuyên môn rất cao thì chỉ những người quan tâm đặc biệt mới hiểu nổi, còn phần còn lại của cộng đồng toán học vẫn nghiên cứu tiếp bất chấp những cuộc tranh luận của các nhà logic. Họ chỉ ra, mặc dù Godel đã chứng minh trong toán học có thể tồn tại những mệnh đề không thể chứng minh, nhưng thực tế, ông chưa chỉ ra bất kỳ một mệnh đề nào như vậy. Nhưng đến năm 1963, cơn ác mộng lý thuyết của Godel đã thành hiện thực. Paul Cohen, một nhà toán học 29 tuổi thuộc đại học Stanford đã phát triển một kỹ thuật cho phép kiểm tra xem một vấn đề cụ thể nào đó có phải là quyết định được hay không. Điều bi đát là một số vấn đề không thể quyết định được lại nằm ở trung tâm của toán học, chứ không phải là ở những vùng tăm tối nhất trong toán học như những nhà toán học khác nghĩ từ trước đến nay: giả thuyết continuum, một trong 23 bài toán mà Hilbert đã tuyên bố, đã được chứng minh là không thể quyết định. Điều này đã làm ảnh hưởng nghiêm trọng đến những bài toán chưa được chứng minh: có lẽ là chúng đúng, cũng có thể là sai; nhưng có thể sẽ không bao giờ tồn tại một chứng minh hoàn chỉnh cho mệnh đề ấy - tính không thể quyết định!
(Trích nội dung từ Định lý cuối cùng của Fermat - Simon Singh)

Facts: Về phương diện vật lý, công trình của Godel song song với những khám phá tương tự trong vật lý lượng tử. Đúng 4 năm trước khi Godel công bố công trình của mình về tính không thể quyết định thì nhà vật lý học người đức Werner Heisenberg đã phát minh ra nguyên lý bất định. Cũng như có một giới hạn đối với những định lý các nhà toán học có thể chứng minh, Heisenberg chỉ ra có một giới hạn cơ bản đối với những tính chất mà một nhà vật lý có thể đo lường. Ví dụ, nếu họ muốn đo vị trí chính xác của một đối tượng, thì họ chỉ có thể đo tốc độ của đối tượng đó với độ chính xác tương đối kém. Đó là vì muốn đo vị trí của một đối tượng thì cần phải rọi sáng nó bằng các hạt ánh sáng (photon), nhưng để chỉ ra chính xác vị trí của nó thù các hạt photon phải có một năng lượng rất lớn. Tuy nhiên, nếu đối tượng bị bắn phá bởi các photon năng lượng cao thì tốc độ của nó sẽ bị ảnh hưởng và trở thành bất định một cách cố hữu. Do đó, nếu muốn biết vị trí của một đối tượng, thì các nhà vật lý sẽ phải từ bỏ một số hiểu biết về tốc độ của nó.
Nhưng nguyên lý bất định Heisenberg chỉ bộc lộ ở cấp độ nguyên tử, khi các phép đo có độ chính xác cao trở nên quan trọng. Do đó, phần lớn vật lý vẫn cứ phát triển bất chấp nguyên lý này; trong khi các nhà vật lý lượng tử quan tâm đến những vấn đề sâu sắc về giới hạn của sự hiểu biết. Và, tương tự đối với định lý của Godel, chỉ các nhà logic mới tranh luận về vấn đề này, với mức độ chuyên sâu rất cao mà thôi.